Эффект Гиббса

**Исходная функция:**
$$ \varphi(x) = \dfrac{\pi - x}{2}, \quad x \in [0, 2\pi] $$
с периодическим продолжением. Имеет разрыв в точках $x = 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$) со скачком $\pi$.

Коэффициенты Фурье

• ${} a_{k} = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} \dfrac{\pi-x}{2} \cos(kx)\, dx = 0$
• $b_{k} = \dfrac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} \dfrac{\pi-x}{2} \sin(kx)\, dx = \dfrac{2}{\pi}\left( \dfrac{\pi-x}{2} - \dfrac{\cos(kx)}{k} \Bigg|_{0}^{\pi} - \dfrac{1}{2k} \int\limits_{0}^{\pi} \cos(kx) \, dx \right) =\dfrac{1}{k}$

**Ряд Фурье:**
$$ \varphi(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\sin(kx)}{k} $$

Частичная сумма $S_n(x)$

$S_{n}(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\sin(kx)}{k} = \int\limits_{0}^{x}\left( \sum_{k=1}^{\infty} \cos(kt) \right) \, dt = \int\limits_{0}^{x} \left( D_{n}(t) - \dfrac{1}{2} \right) \, dt =$
$= \int\limits_{0}^{x} \dfrac{\sin\left( n + \dfrac{1}{2} \right)t}{2 \sin\left( \dfrac{t}{2} \right)} \, dt - \dfrac{x}{2}=$
$= \int\limits_{0}^{x} \dfrac{\sin(nt)}{2\sin\left( \dfrac{t}{2} \right)}\cos\left( \dfrac{t}{2} \right)\, dt + \int\limits_{0}^{x} \dfrac{\cos(t)}{2}\, dt - \dfrac{x}{2}$
где $D_n(t) = \dfrac{\sin\left( n + \frac{1}{2} \right)t}{2 \sin \frac{t}{2}}$ — ядро Дирихле.

Анализ эффекта Гиббса

1. **Поведение вблизи разрыва ($x = 0$):**
2. Предельное значение функции: $\varphi(0^+) = \dfrac{\pi}{2} \approx
   1.5708$.
3. Первый максимум $S_n(x)$ при $x_n = \dfrac{\pi}{n + \frac{1}{2}}$:
   $$ S_n(x_n) \approx \int\limits_{0}^{\pi} \dfrac{\sin u}{u} du = \text{Si}(\pi) \approx
   1.85194 $$
4. Превышение над $\varphi(0^+)$:
   $$ S_n(x_n) - \dfrac{\pi}{2} \approx
   0.28114 $$

5. Относительное превышение: $\dfrac{
   0.28114}{\pi} \cdot 100\% \approx
   8.95\%$ от величины скачка $\pi$.

6. **Асимптотика:**
   При $n \to \infty$:

7. Точка максимума $x_n \to 0$.
8. Величина превышения стремится к $\text{Si}(\pi) - \dfrac{\pi}{2}$.
9. Эффект сохраняется для любых кусочно-гладких функций с разрывами.

Геометрическая интерпретация

• Частичные суммы $S_n(x)$ осциллируют вблизи разрыва.
• Амплитуда первого "выброса" составляет $\approx 109\%$ от $\varphi(0^+)$ (или $
  8.95\%$ от величины скачка).
• Явление обусловлено медленной сходимостью ряда из-за $\dfrac{1}{k}$-закона убывания коэффициентов.

$S_n(x) - \varphi(x)$

Разность частичной суммы и функции раскладывается как:
$$ S_n(x) - \varphi(x) = \int\limits_{0}^{x} \dfrac{\sin(nt)}{t} dt - \dfrac{\pi}{2} + \tilde{r}_n(x) $$
где $\tilde{r}_n(x)$ — остаточный член.

Преобразование интеграла

Основной интеграл преобразуется заменой $u = nt$:
$$ \int\limits_{0}^{x} \dfrac{\sin(nt)}{t} dt = \int\limits_{0}^{nx} \dfrac{\sin u}{u} du $$

Введём **функцию отклонения**:
$$ g(u) = \int\limits_{0}^{u} \dfrac{\sin t}{t} dt - \dfrac{\pi}{2} $$

Анализ функции $g(u)$

1. **Производная:**
   $$ g'(u) = \dfrac{\sin u}{u} $$
   Критические точки: $g'(u) = 0 \iff u = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

2. **Экстремумы:**

3. Максимум при $u = \pi$:
   $$ g(\pi) = \int\limits_{0}^{\pi} \dfrac{\sin t}{t} dt - \dfrac{\pi}{2} \approx
   1.85194 -
   1.57080 =
   0.28114 $$

4. Минимум при $u = 2\pi$:
   $$ g(2\pi) \approx
   1.41815 -
   1.57080 = -
   0.15265 $$

5. **Асимптотика:**
   $$ \lim_{u \to \infty} g(u) = 0, \quad \sup_{u > 0} |g(u)| = g(\pi) \approx
   0.28114 $$